情報の表現

整数の表現

１．非負の整数

コンピュータ内部の表現では，非負の整数は通常の2進数で表現される。また，使用するビット長は，8ビット，32ビットなどと固定される。
例えば 25(10) という値は，8ビットで表現する場合 00011001(2) となる。よって，

8ビット使用して表現できる整数は，00000000(2) ～ 11111111(2) ，つまり 0 ～ 28 -1

である。同様に

16ビット使用して表現できる整数は，0 ～ 216 -1
32ビット使用して表現できる整数は，0 ～ 232 -1

である。

２．負の整数

２．１　2の補数

コンピュータ内部では，2つの状態 0 と 1 しか使えないので，我々が通常使用する - （マイナス）記号を使うことはできない。つまり，負の数も 0， 1 を使って表現するしかない。

多くの場合，負の数の表現には2の補数を使用する。2の補数とは，正の整数 n に対して，以下のように -n を定義するものである。ここで，数値を表現するビット数は，16や32のように固定して考える。

2の補数の作り方
  1. 正の整数 n を2進数で表す。ただし最上位のビットは 0 とする。
  2. 各ビットを反転する。（1→0，0→1）
  3. それに1を加える
例１
整数は 8 ビットで表現するものとする。
n = 18(10) とする。（8ビットの場合だと，最初のビットが 0 となる値の範囲は 1(2) ≦ n ≦01111111(2) ，つまり 1 ≦ n ≦ 127（＝27-1））
n = 00010010(2)
各ビットを反転して，11101101
これに 1 を加えて，11101110
これが，-18(10) の内部表現である。

n = 0 についても同様の変形をしてみる。
各ビットを反転して，11111111
これに 1 を加えて，100000000
8ビットであるので，最上位のビット1は保持されない。従って結果は，00000000 となり，0 = -0 が成り立つ。

以上から，次のような関係ができる。

元の数
（10進数）		 元の数
（2進数） 		 2の補数
（負の数） 
0 00000000 00000000 
1 00000001 11111111 
2 00000010 11111110
3 00000011 11111101
4 00000100 11111100
  ：
：		 ：
： 
126 01111110 10000010
127 01111111 10000001
128 10000000 10000000

この表の最下段の 10000000 は元の数と2の補数が同じ表現になっているので，+128 か -128 かどちらかに定めないといけない。負の数の最上位のビットはすべて 1 であるから，負の数とした方が都合がよく，-128 と定める。

10000000(2) = -27 = -128

同様に

16ビット　：　1000000000000000(2) = -215 = -32768
32ビット　：　1000000000000000000000(2) = -231

と定義する。

この定義から，正の数は最上位のビットが 0，負の数は最上位のビットが 1 となる。

２．２　符号付の整数で表現できる範囲

以上のことから，負の数に 2 の補数を使うとき，8ビットの符号付きの整数では -128 ～ 127 の範囲の値が使用できる。

同様に，16 ビットの符号付きの整数では - 215 ～ 215 -1 の範囲の値が，32 ビットの符号付きの整数では - 231 ～ 231 -1 の範囲の値が使用できる。

いずれも負の数の個数が 1 つ多くなる。

２．３　負の数に2の補数を使用する理由

-1は？

負の数に 2 の補数を使う理由は，コンピュータ内部では有効なビット数が固定されていることで，負の数の加算に特別な仕組みを用意しなくても済むからである。

例えば

0000 0001 + 1111 1111 = 1 0000 0000　（*）

となるが，有効ビット数が 8 の場合，右辺の9桁目のビットつまり左端のビットは保持されない。よって 1111 1111 と 0000 0001 の和は 0000 0000，つまり 0 となる。このことから，0000 0001 の負の数として 1111 1111 を採用すれば，負の数を含む和の計算が（従って差の計算も）正の数の和の計算だけでできるのである。

一般に

以下，2の補数が負の数として使われる理由を，一般的な場合に考えてみる。

ある正の数 A に対して

A + B = 1 0000 0000　（**）

となる数 B を考える。-1 の場合のように最上位のビットは消えて無くなるので，式（**）は

A + B = 0

という式と同じである。つまり，B が A の負の数の定義を満たしていることが分る。

次に，この B をどのように作成すれば良いかを考える。上の式（*）から，

1 0000 0000 - 0000 0001= 1111 1111

である。よって（**）から

A + (B - 1) = (A + B) - 1 = 1 0000 0000 － 1 ＝ 1111 1111

である。この式から，B-1 は A の各ビットを反転したものであることがわかる。よって B は， A の各ビットを反転したものに 1 を加えたものになる。

例２
例１のように，使用するビット数は8ビットとし，n = 18 とする。例１の計算から，
n ＝00010010
-n ＝11101110
である。これらを加えると
00010010 + 11101110 = 100000000
従って，9ビット目を捨てた8ビットの表現では，和が 0 となることが分かる。

負の数が入った値の計算

2の補数を使うと，正の数と負の数の和（つまり引き算）や負の数度同士の和も，正の2進数の整数の和で計算できる。

例３
21 から 18 を引く計算は 21 と -18 の和を計算する。
21(10) = 00010101(2)
-18(10) = 11101110(2)
21(10) - 18(10) = 00010101(2) + 11101110(2) = 100000011(2) = 00000011(2) = 3(10)
最後から２つ目の等号は，有効桁数を越えた 9 ビット目を消去している。
例４
18 から 21 を引く計算は 18 と -21 の和を計算する。
18(10) = 00010010(2)
-21(10) = 11101011(2)
18(10) - 21(10) = 00010010(2) + 11101011(2) = 11111101(2)
一方 3 の補数は，上の表より，11111101(2)
よって，18 - 21 = -3 が成り立つ。

これらの計算結果から，一般に引き算も2進数の和で計算できることが分る。 つまり加減共に同一の回路で計算できることになり，

回路が単純化でき処理が速くなる

という利点が生まれる。そのため，2の補数を負の表現として採用しているシステムが多い。

演習

  1. 8ビットの値 10000000 の2の補数が 10000000 であることを確認せよ。
  2. 負の数はすべて2の補数で表現するとする。
    99(10)の負の表現を求めよ。
    次に，求めた値と-18(10)の和を2進数の和として計算し，それが-117(10)と一致することを確かめよ。
    数値はすべて8ビットで表現されるものとする。
    解答例

３．オーバーフロー（overflow）

数値演算や入力などの結果、扱える数値の最大値を超えることをオーバーフローという。プログラミングなどでは，オーバーフローをチェックせず，計算したままの結果を返すことがある。例えば 8 ビットの符号付の整数の場合，127 + 1 はオーバーフローとなる。よってその事を示唆するメッセージが表示されるのを期待してしまう。しかし実際にはエラーメッセージは表示されずに，-128 が表示されることがある。上の式の計算結果は

0111111 + 00000001 = 10000000

となり，右辺は -128 の2の補数表現なので，-128 という値を返すのである。